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帕菲杯型幾何與份量換算：同樣 100 ml 會佔不同高度

在錐形杯 540 ml 裡，同樣 100 ml 的醬放在杯底佔 37.6 mm 高、放在杯口只佔 20.8 mm，差了 1.8 倍。理解截頭錐積分、裝填方式與球間空隙，成本、營養與剖面圖才會用同一套幾何。

先看一個數字

以系統內建的錐形杯 540 ml（底徑 55 mm、口徑 80 mm、高 150 mm）為例：同樣 100 ml 的醬，放在杯底會佔 37.6 mm 高，放在杯口只佔 20.8 mm。體積完全相同，高度差 1.8 倍。反過來說，如果用「高度比例」去回推體積，杯底那一段就會被大幅高估。

• 杯底常放果醬、堅果、酒漬水果這類單價最高的層 —— 高估杯底體積，等於高估最貴那一層的用量。
• 杯口常放鮮奶油這類最便宜的層 —— 低估杯口體積，等於少算了便宜的部分。
• 兩個誤差方向相反，不會互相抵消成「大致正確」，而是同時讓逐層成本佔比失真。
• 同一個誤差也會傳到營養計算與剖面圖，因為它們用的是同一個層體積。

「高度比例＝體積比例」錯在哪

圓柱杯的每一段截面積都相同，高度加倍體積就加倍。但多數帕菲杯會向杯口變寬，截面積隨高度增加，於是同樣的高度在不同位置代表不同體積。把同一款錐形杯切成三個等高段，誤差長這樣：

• 中段之所以幾乎沒有誤差，是因為它剛好落在平均截面附近 —— 這正是誤差最容易被忽略的位置。
• 杯子越接近圓柱，誤差越小；越是喇叭口、鬱金香杯或颶風杯，誤差越大。
• 這也是帕菲不能沿用冰淇淋蛋糕幾何的原因：蛋糕模具多為等截面，那裡的高度比例是對的。

系統怎麼算：半徑輪廓加截頭錐分段積分

系統不把杯子存成一個容積數字，而是存成一條「不同高度對應多少半徑」的輪廓。任兩個高度之間的體積，就是把這段輪廓切成許多小段、每段當成截頭錐（上下圓面積不同的柱體）加總起來。

• 因為容積是從輪廓算出來的、不是硬編的，杯型標稱容積與系統顯示值必然一致，不會名實不符。
• 「給我 100 ml，這層會到多高」與「這一段有多少 ml」是同一條輪廓的正反運算，兩邊必然自洽。
• 船型 banana split 這類非圓截面以長短軸比例描述，橢圓截頭錐的體積換算在數學上是精確的，不是近似。
• 自己的杯子不在 14 款清單裡時，量底徑、口徑與高就能估出輪廓；但形狀特殊（有腰身、方形、厚底）時要用實際水量核對。

三種裝填方式怎麼選

裝填方式決定的是「你在現場量什麼」，以及系統要往哪個方向換算。選錯不會讓數字消失，但會讓現場量得到的東西和系統算的東西對不起來。

物質體積不等於佔杯體積

一球 gelato 用 #20 杓舀出約 45 ml 的實心冰淇淋，但幾球放進杯裡彼此會留下空隙，實際佔掉的杯內高度對應約 66 ml。系統因此把「有重量的物質」與「佔掉的空間」分開處理：空隙會推高層高，卻不增加重量、熱量與成本。

• 球狀舀取的填充率目前取 0.68（隨機球體堆積 0.64 加上軟化變形的修正），尚未實測校準。
• 顆粒類（穀麥、crumble、水果丁）用的是堆積密度，密度本身已經含了空隙，所以不可以再除一次填充率 —— 否則空隙會被算兩遍。
• 固定杓號之後仍要實測單球平均重量：同樣體積下，overrun 越高的配方越輕。
• 水果塊與蛋糕塊的切割尺寸會改變堆積空隙，同樣 30 g 可能呈現明顯不同的層高。

填充率、杯蓋與裝飾要一起算

杯子的標稱容積不等於可以全部填滿。帕菲需要保留杯口淨空、匙入空間、裝飾高度，外帶還要留杯蓋的安全距離。先決定填充率，再放層與裝飾，可以避免設計到最後才發現溢杯或圓頂蓋壓到鮮奶油。

• 內用玻璃杯通常讓最上層低於杯口，另以冰淇淋球或擠花形成杯口以上的視覺。
• 外帶平蓋需要更多淨空；圓頂蓋能容納裝飾，但會增加結露與受潮風險，見賞味窗口。
• 高腳深杯要同時檢查湯匙長度 —— 顧客碰不到的底層，不應該放最貴或最重要的風味。

建立門市自己的份量校正表

每款杯型至少做三杯重複裝填，記錄每層克數、層高與總重。若現場結果持續偏離模型，先檢查密度、顆粒尺寸、填充率、杓號與操作手法，再調整資料 —— 不要只把某一杯的高度硬改到看起來正確，那會讓下一杯又對不上。

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